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关于 数学 的百科小常识
数学 其英文是mathematics 这是一个复数名词 “数学曾经是四门学科：算术、几何、天文学和音乐 处于一种比语法、修辞和辩证法这三门学科更高的地位。”历史
自古以来 多数人把数学看成是一种知识体系 是经过严密的逻辑推理而形成的系统化的理论知识总和 它既反映了人们对“现实世界的空间形式和数量关系（恩格斯）”的认识（恩格斯） 又反映了人们对“可能的量的关系和形式”的认识。数学既可以来自现实世界的直接抽象 也可以来自人类思维的劳动创造。
从人类社会的发展史看 人们对数学本质特征的认识在不断变化和深化。“数学的根源在于普通的常识 最显著的例子是非负整数。"欧几里德的算术来源于普通常识中的非负整数 而且直到19世纪中叶 对于数的科学探索还停留在普通的常识 ”另一个例子是几何中的相似性 “在个体发展中几何学甚至先于算术” 其“最早的征兆之一是相似性的知识 ”相似性知识被发现得如此之早 “就象是大生的。”因此 19世纪以前 人们普遍认为数学是一门自然科学、经验科学 因为那时的数学与现实之间的联系非常密切 随着数学研究的不断深入 从19世纪中叶以后 数学是一门演绎科学的观点逐渐占据主导地位 这种观点在布尔巴基学派的研究中得到发展 他们认为数学是研究结构的科学 一切数学都建立在代数结构、序结构和拓扑结构这三种母结构之上。与这种观点相对应 从古希腊的柏拉图开始 许多人认为数学是研究模式的学问 数学家怀特海（A. N. Whiiehead 186----1947）在《数学与善》中说 “数学的本质特征就是：在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究 ”数学对于理解模式和分析模式之间的关系 是最强有力的技术。”1931年 歌德尔（K G0de1 1978）不完全性定理的证明 宣告了公理化逻辑演绎系统中存在的缺憾 这样 人们又想到了数学是经验科学的观点 著名数学家冯·诺伊曼就认为 数学兼有演绎科学和经验科学两种特性。
本质特征
对于上述关于数学本质特征的看法 我们应当以历史的眼光来分析 实际上 对数本质特征的认识是随数学的发展而发展的。由于数学源于分配物品、计算时间、丈量土地和容积等实践 因而这时的数学对象（作为抽象思维的产物）与客观实在是非常接近的 人们能够很容易地找到数学概念的现实原型 这样 人们自然地认为数学是一种经验科学；随着数学研究的深入 非欧几何、抽象代数和集合论等的产生 特别是现代数学向抽象、多元、高维发展 人们的注意力集中在这些抽象对象上 数学与现实之间的距离越来越远 而且数学证明（作为一种演绎推理）在数学研究中占据了重要地位 因此 出现了认为数学是人类思维的自由创造物 是研究量的关系的科学 是研究抽象结构的理论 是关于模式的学问 等等观点。这些认识 既反映了人们对数学理解的深化 也是人们从不同侧面对数学进行认识的结果。正如有人所说的 “恩格斯的关于数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的提法与布尔巴基的结构观点是不矛盾的 前者反映了数学的来源 后者反映了现代数学的水平 现代数学是一座由一系列抽象结构建成的大厦。”而关于数学是研究模式的学问的说法 则是从数学的抽象过程和抽象水平的角度对数学本质特征的阐释 另外 从思想根源上来看 人们之所以把数学看成是演绎科学、研究结构的科学 是基于人类对数学推理的必然性、准确性的那种与生俱来的信念 是对人类自身理性的能力、根源和力量的信心的集中体现 因此人们认为 发展数学理论的这套方法 即从不证自明的公理出发进行演绎推理 是绝对可靠的 也即如果公理是真的 那么由它演绎出来的结论也一定是真的 通过应用这些看起来清晰、正确、完美的逻辑 数学家们得出的结论显然是毋庸置疑的、无可辩驳的。
事实上 上述对数学本质特征的认识是从数学的来源、存在方式、抽象水平等方面进行的 并且主要是从数学研究的结果来看数学的本质特征的。显然 结果（作为一种理论的演绎体系）并不能反映数学的全貌 组成数学整体的另一个非常重要的方面是数学研究的过程 而且从总体上来说 数学是一个动态的过程 是一个“思维的实验过程” 是数学真理的抽象概括过程。逻辑演绎体系则是这个过程的一种自然结果。在数学研究的过程中 数学对象的丰富、生动且富于变化的一面才得以充分展示。波利亚（G. Poliva 1888一1985）认为 “数学有两个侧面 它是欧几里德式的严谨科学 但也是别的什么东西。由欧几里德方法提出来的数学看来象是一门系统的演绎科学 但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。”弗赖登塔尔说 “数学是一种相当特殊的活动 这种观点“是区别于数学作为印在书上和铭 记在脑子里的东西。”他认为 数学家或者数学教科书喜欢把数学表示成“一种组织得很好的状态 ”也即“数学的形式”是数学家将数学（活动）内容经过自己的组织（活动）而形成的；但对大多数人来说 他们是把数学当成一种工具 他们不能没有数学是因为他们需要应用数学 这就是 对于大众来说 是要通过数学的形式来学习数学的内容 从而学会相应的（应用数学的）活动。这大概就是弗赖登塔尔所说的“数学是在内容和形式的互相影响之中的一种发现和组织的活动”的含义。菲茨拜因（Efraim Fischbein）说 “数学家的理想是要获得严谨的、条理清楚的、具有逻辑结构的知识实体 这一事实并不排除必须将数学看成是个创造性过程：数学本质上是人类活动 数学是由人类发明的 ”数学活动由形式的、算法的与直觉的等三个基本成分之间的相互作用构成。库朗和罗宾逊（Courani Robbins）也说 “数学是人类意志的表达 反映积极的意愿、深思熟虑的推理 以及精美而完善的愿望 它的基本要素是逻辑与直觉、分析与构造、一般性与个别性。虽然不同的传统可能强调不同的侧面 但只有这些对立势力的相互作用 以及为它们的综合所作的奋斗 才构成数学科学的生命、效用与高度的价值。”
其它解释
另外 对数学还有一些更加广义的理解。如 有人认为 “数学是一种文化体系” “数学是一种语言” 数学活动是社会性的 它是在人类文明发展的历史进程中 人类认识自然、适应和改造自然、完善自我与社会的一种高度智慧的结晶。数学对人类的思维方式产生了关键性的影响．也有人认为 数学是一门艺术 “和把数学看作一门学科相比 我几乎更喜欢把它看作一门艺术 因为数学家在理性世界指导下（虽然不是控制下）所表现出的经久的创造性活动 具有和艺术家的 例如画家的活动相似之处 这是真实的而并非臆造的。数学家的严格的演绎推理在这里可以比作专门注技巧。就像一个人若不具备一定量的技能就不能成为画家一样 不具备一定水平的精确推理能力就不能成为数学家 这些品质是最基本的 它与其它一些要微妙得多的品质共同构成一个优秀的艺术家或优秀的数学家的素质 其中最主要的一条在两种情况下都是想象力。”“数学是推理的音乐 ”而“音乐是形象的数学”．这是从数学研究的过程和数学家应具备的品质来论述数学的本质 还有人把数学看成是一种对待事物的基本态度和方法 一种精神和观念 即数学精神、数学观念和态度。尼斯（Mogens Niss）等在《社会中的数学》一文中认为 数学是一门学科 “在认识论的意义上它是一门科学 目标是要建立、描述和理解某些领域中的对象、现象、关系和机制等。如果这个领域是由我们通常认为的数学实体所构成的 数学就扮演着纯粹科学的角色。在这种情况下 数学以内在的自我发展和自我理解为目标 独立于外部世界 另一方面 如果所考虑的领域存在于数学之外 数学就起着用科学的作用 数学的这两个侧面之间的差异并非数学内容本身的问题 而是人们所关注的焦点不同。无论是纯粹的还是应用的 作为科学的数学有助于产生知识和洞察力。数学也是一个工具、产品以及过程构成的系统 它有助于我们作出与掌握数学以外的实践领域有关的决定和行动 数学是美学的一个领域 能为许多醉心其中的人们提供对美感、愉悦和激动的体验 作为一门学科 数学的传播和发展都要求它能被新一代的人们所掌握。数学的学习不会同时而自动地进行 需要靠人来传授 所以 数学也是我们社会的教育体系中的一个教学科目．”
从上所述可以看出 人们是从数学内部（又从数学的内容、表现形式及研究过程等几个角度）。数学与社会的关系、数学与其它学科的关系、数学与人的发展的关系等几个方面来讨论数学的性质的。它们都从一个侧面反映了数学的本质特征 为我们全面认识数学的性质提供了一个视角。
基于对数学本质特征的上述认识 人们也从不同侧面讨论了数学的具体特点。比较普遍的观点是 数学有抽象性、精确性和应用的广泛性等特点 其中最本质的特点是抽象性。A 。亚历山大洛夫说 “甚至对数学只有很肤浅的知识就能容易地觉察到数学的这些特点：第一是它的抽象性 第二是精确性 或者更好他说是逻辑的严格性以及它的结论的确定性 最后是它的应用的极端广泛性”王梓坤说 “数学的特点是：内容的抽象性、应用的广泛性、推理的严谨性和结论的明确必”这种看法主要从数学的内容、表现形式和数学的作用等方面来理解数学的特点 是数学特点的一个方面。另外 从数学研究的过程方面、数学与其它学科之间的关系方面来看 数学还有形象性、似真性、拟经验性。“可证伪性”的特点。对数学特点的认识也是有时代特征的 例如 关于数学的严谨性 在各个数学历史发展时期有不同的标准 从欧氏几何到罗巴切夫斯基几何再到希尔伯特公理体系 关于严谨性的评价标准有很大差异 尤其是哥德尔提出并证明了“不完备性定理…以后 人们发现即使是公理化这一曾经被极度推崇的严谨的科学方法也是有缺陷的。因此 数学的严谨性是在数学发展历史中表现出来的 具有相对性。关于数学的似真性 波利亚在他的《数学与猜想》中指出 “数学被人看作是一门论证科学。然而这仅仅是它的一个方面 以最后确定的形式出现的定型的数学 好像是仅含证明的纯论证性的材料 然而 数学的创造过程是与任何其它知识的创造过程一样的 在证明一个数学定理之前 你先得猜测这个定理的内容 在你完全作出详细证明之前 你先得推测证明的思路 你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比．你得一次又一次地进行尝试。数学家的创造性工作成果是论证推理 即证明；但是这个证明是通过合情推理 通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话 那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”正是从这个角度 我们说数学的确定性是相对的 有条件的 对数学的形象性、似真性、拟经验性。“可证伪性”特点的强调 实际上是突出了数学研究中观察、实验、分析。比较、类比、归纳、联想等思维过程的重要性。
研究内容
人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了 后来由于实践的需要 数的概念进一步扩充 自然数被叫做正整数 而把它们的相反数叫做负整数 介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们和起来叫做整数。
对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算 叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算 在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说 任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候 它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。
人们在对整数进行运算的应用和研究中 逐步熟悉了整数的特性。比如 整数可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本性质 可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律 正是这些特性的魅力 吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。
数论这门学科最初是从研究整数开始的 所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展 就叫做数论了。确切的说 数论就是一门研究整数性质的学科。
数论的发展简况
自古以来 数学家对于整数性质的研究一直十分重视 但是直到十九世纪 这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中 也就是说还没有形成完整统一的学科。
自我国古代 许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述 比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外 古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究 关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献 使数论的基本理论逐步得到完善。
在整数性质的研究中 人们发现质数是构成正整数的基本“材料” 要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题 一直受到数学家的关注。
到了十八世纪末 历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了 把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学家高斯集中前人的大成 写了一本书叫做《算术探讨》 1800年寄给了法国科学院 但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作 高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。
在《算术探讨》中 高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了 把当时现存的定理系统化并进行了推广 把要研究的问题和意志的方法进行了分类 还引进了新的方法。
数论的基本内容
数论形成了一门独立的学科后 随着数学其他分支的发展 研究数论的方法也在不断发展。如果按照研究方法来说 可以分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分。
初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助 只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。比如中国古代有名的“中国剩余定理” 就是初等数论中很重要的内容。
解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支。数学分析是以函数作为研究对象的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科。用数学分析来解决数论问题是由欧拉奠基的 俄国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过贡献。解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具。比如 对于“质数有无限多个”这个命题 欧拉给出了解析方法的证明 其中利用了数学分析中有关无穷级数的若干知识。二十世纪三十年代 苏联数学家维诺格拉多夫创造性的提出了“三角和方法” 这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作用。我国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中使用的是解析数论中的筛法。
代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。数学家把整数概念推广到一般代数数域上去 相应地也建立了素整数、可除性等概念。
几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。几何数论研究的基本对象是“空间格网”。什么是空间格网呢？在给定的直角坐标系上 坐标全是整数的点 叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网。空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义。由于几何数论涉及的问题比较复杂 必须具有相当的数学基础才能深入研究。
数论是一门高度抽象的数学学科 长期以来 它的发展处于纯理论的研究状态 它对数学理论的发展起到了积极的作用。但对于大多数人来讲并不清楚它的实际意义。
由于近代计算机科学和应用数学的发展 数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道 现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距 用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。此外 数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在由于计算机的发展 用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。
数论在数学中的地位是独特的 高斯曾经说过“数学是科学的皇后 数论是数学中的皇冠”。因此 数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题 叫做“皇冠上的明珠” 以鼓励人们去“摘取”。下面简要列出几颗“明珠”：费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题……
在我国近代 数论也是发展最早的数学分支之一。从二十世纪三十年代开始 在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献 出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等第一流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的。1949年以后 数论的研究的得到了更大的发展。特别是在“筛法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究 已取得世界领先的优秀成绩。
特别是陈景润在1966年证明“歌德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”以后 在国际数学引起了强烈的反响 盛赞陈景润的论文是解析数学的名作 是筛法的光辉顶点。至今 这仍是“歌德巴赫猜想”的最好结果。
人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了 后来由于实践的需要 数的概念进一步扩充 自然数被叫做正整数 而把它们的相反数叫做负整数 介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们和起来叫做整数。
对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算 叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算 在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说 任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候 它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。
人们在对整数进行运算的应用和研究中 逐步熟悉了整数的特性。比如 整数可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本性质 可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律 正是这些特性的魅力 吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。
数论这门学科最初是从研究整数开始的 所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展 就叫做数论了。确切的说 数论就是一门研究整数性质的学科。
数论的发展简况
自古以来 数学家对于整数性质的研究一直十分重视 但是直到十九世纪 这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中 也就是说还没有形成完整统一的学科。
自我国古代 许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述 比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外 古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究 关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献 使数论的基本理论逐步得到完善。
在整数性质的研究中 人们发现质数是构成正整数的基本“材料” 要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题 一直受到数学家的关注。
到了十八世纪末 历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了 把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学家高斯集中前人的大成 写了一本书叫做《算术探讨》 1800年寄给了法国科学院 但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作 高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。
在《算术探讨》中 高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了 把当时现存的定理系统化并进行了推广 把要研究的问题和意志的方法进行了分类 还引进了新的方法。
数论的基本内容
数论形成了一门独立的学科后 随着数学其他分支的发展 研究数论的方法也在不断发展。如果按照研究方法来说 可以分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分。
初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助 只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。比如中国古代有名的“中国剩余定理” 就是初等数论中很重要的内容。
解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支。数学分析是以函数作为研究对象的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科。用数学分析来解决数论问题是由欧拉奠基的 俄国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过贡献。解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具。比如 对于“质数有无限多个”这个命题 欧拉给出了解析方法的证明 其中利用了数学分析中有关无穷级数的若干知识。二十世纪三十年代 苏联数学家维诺格拉多夫创造性的提出了“三角和方法” 这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作用。我国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中也使用的是解析数论的方法。
代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。数学家把整数概念推广到一般代数数域上去 相应地也建立了素整数、可除性等概念。
几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。几何数论研究的基本对象是“空间格网”。什么是空间格网呢？在给定的直角坐标系上 坐标全是整数的点 叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网。空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义。由于几何数论涉及的问题比较复杂 必须具有相当的数学基础才能深入研究。
数论是一门高度抽象的数学学科 长期以来 它的发展处于纯理论的研究状态 它对数学理论的发展起到了积极的作用。但对于大多数人来讲并不清楚它的实际意义。
由于近代计算机科学和应用数学的发展 数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道 现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距 用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。此外 数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在由于计算机的发展 用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。
数论在数学中的地位是独特的 高斯曾经说过“数学是科学的皇后 数论是数学中的皇冠”。因此 数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题 叫做“皇冠上的明珠” 以鼓励人们去“摘取”。下面简要列出几颗“明珠”：费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题……
在我国近代 数论也是发展最早的数学分支之一。从二十世纪三十年代开始 在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献 出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等第一流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的。1949年以后 数论的研究的得到了更大的发展。特别是在“筛法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究 已取得世界领先的优秀成绩。
特别是陈景润在1966年证明“歌德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”以后 在国际数学引起了强烈的反响 盛赞陈景润的论文是解析数学的名作 是筛法的光辉顶点。至今 这仍是“歌德巴赫猜想”的最好结果。
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