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关于 开普勒 的百科小常识
约翰尼斯·开普勒公元1571～公元1630
行星运动定律的发明者约翰尼斯·开普勒于1571年出生在德国的威尔德斯达特镇 恰好是哥白尼发表《天体运行论》后的第二十八年。哥白尼在这部伟大著作中提出了行星绕太阳而不是绕地球运转的学说。开普勒就读于蒂宾根大学 1588年获得学士学位 三年后获得硕士学位。当时大多数科学家拒不接受哥白尼的日心说。在蒂宾根大学学习期间 他听到对日心学说所做的合乎逻辑的阐述 很快就相信了这一学说”
在蒂宾根大学毕业后 开普勒在格拉茨研究院当了几年教授。在此期间完成了他的第一部天文学著作（1596年）。虽然开普勒在该书中提出的学说完全错误 但却从中非常清楚地显露出他的数学才能和富有创见性的思想 于是伟大的天文学家泰修·布拉赫邀请他去布拉格附近的天文台给自己当助手。开普勒接受了这一邀请 1600年1月加入了泰修的行列。泰修翌年去世。开普勒在这几个月来给人留下了非常美好的印象 不久圣罗马皇帝鲁道夫就委任他为接替泰修的皇家数学家。开普勒在余生一直就任此职。
作为泰修·布拉赫的接班人 开普勒认真地研究了泰修多年对行星进行仔细观察所做的大量记录。泰修是望远镜发明以前的最后一位伟大的天文学家 也是世界上前所未有的最仔细、最准确的观察家 因此他的记录具有十分重大的价值。开普勒认为通过对泰修的记录做仔细的数学分析可以确定哪个行星运动学说是正确的：哥白尼日心说 古老的托勒密地心说 或许是泰修本人提出的第三种学说。但是经过多年煞费苦心的数学计算 开普勒发现泰修的观察与这种三学说都不符合 他的希望破灭了。
最终开普勒认识到了所存在的问题：他与泰修、拉格茨·哥白尼以及所有的经典天文学家一样 都假定行星轨道是由圆或复合国组成的。但是实际上行星轨道不是圆形而是椭圆形。
就在找到基本的解决办法后 开普勒仍不得不花费数月的时间来进行复杂而冗长的计算 以证实他的学说与泰修的观察相符合。他在1609年发表的伟大著作《新天文学》中提出了他的前两个行星运动定律。行星运动第一定律认为每个行星都在一个椭圆形的轨道上绕太阳运转 而太阳位于这个椭圆轨道的一个焦点上。行星运动第二定律认为行星运行离太阳越近则运行就越快 行星的速度以这样的方式变化：行星与太阳之间的连线在等时间内扫过的面积相等。十年后开普勒发表了他的行星运动第三定律：行星距离太阳越远 它的运转周期越长；运转周期的平方与到太阳之间距离的立方成正比。
开普勒定律对行星绕太阳运动做了一个基本完整、正确的描述 解决了天文学的一个基本问题。这个问题的答案曾使甚至象哥白尼、伽利略这样的天才都感到迷惑不解。当时开普勒没能说明按其规律在轨道上运行的原因 到17世纪后期才由艾萨克·牛顿阐明清楚。牛顿曾说过：“如果说我比别人看得远些的话 是因为我站在巨人的肩膀上。”开普勒无疑是他所指的巨人之一。
开普勒对天文学的贡献几乎可以和哥白尼相媲美。事实上从某些方面来看 开普勒的成就甚至给人留下了更深刻的印象。他更富于创新精神。他所面临的数学困难相当巨大。数学在当时远不如今天这样发达 没有计算机来减轻开普勒的计算负担。
从开普勒取得的成果的重要性来看 令人感到惊奇的是他的成果起初差一点被忽略 甚至差点被伽利略这样如此伟大的科学家所忽略（伽利略对开普勒定律的忽视特别令人感到惊奇 因为他俩之间有书信往来 而且开普勒的成果会有助于伽利略驳斥托勒密学说）。如果说其他人迟迟不能赏识开普勒成果的重大意义的话 他本人是会谅解这一点的。他在一次抑制不住巨大喜悦时写道：“我沉湎在神圣的狂喜之中……我的书已经完稿。它不是会被我的同时代人读到就会被我的子孙后代读到──这是无所谓的事。它也许需要足足等上一百年才会有一个读者 正如上帝等了6000年才有一个人理解他的作品。”
但是经过几十年的历程 开普勒定律的意义在科学界逐渐明朗起来。实际上在17世纪晚期 有一个支持牛顿学说的主要论点认为开普勒定律可以从牛顿学说中推导出来 反过来说只要有牛顿运动定律 也能从开普勒定律中精确地推导出牛顿引力定律。但是这需要更先进的数学技术 而在开普勒时代则没有这样的技术、就是在技术落后的情况下 开普勒也能以其敏锐的洞察力判断出行星运动受来自太阳的引力的控制。
开普勒除了发明行星运动定律外 还对天文学做出了许多小的贡献。他也对光学做出了重要的贡献。不幸的是他在晚年为私事而感到忧伤。当时德国开始陷入“三十年战争”的大混乱之中 很少有人能躲进世外桃源。
他遇到的一个问题是领取薪水。圣罗马皇帝即使在较兴隆的时期都是怏怏不乐地支付薪水。在战乱时期 开普勒的薪水被一拖再拖 得不到及时的支付。开普勒结过两次婚 有十二个孩子 这样的经济困难的确很严重。另一个问题是他的母亲在1620年由于行巫术而被捕。开普勒花费了大量的时间设法使母亲在不受拷打的情况下获得释放 他终于达到了目的。
开普勒于1630年在巴伐利亚州雷根斯堡市去世。在“三十年战争”的动乱中 他的坟墓很快遭毁。但是业已证明他的行星运动定律是一座比任何石碑都更为久伫长存的纪念碑。
开普勒
找定了目标
伽利略的望远镜为哥白尼体系提供的论据是令人信服的 但毕竟还是间接的 只有定性意义。因为人们“坐地观天” 能够直接观察到的只是行星在恒星天球上垂直于视线方向的位移 而不是它们在空间的“真实”运动。要直接论证哥白尼体系 必须探求行星的“真实轨道” 并加以严格考证。
另外 哥白尼首创的日心体系还残留着托勒玫体系的若干成分 没有完全摆脱经院哲学思想的束缚 认为天体只能作简单的匀速圆周运动。因此 为了解释行星运行中存在较小的不均匀性 仍然保留了托勒玫的一部分本轮和偏心圆的设计。哥白尼的日心宇宙理论无疑是正确的 但他的体系是有缺陷的 很快就被推翻了。
竟哥白尼事业之功、揭开行星运动之谜的是不朽的德国天文学家约翰·开普勒 （1571～1630）。
开普勒出生在德国南部的瓦尔城。他的一生颠沛流离 是在宗教斗争（天主教和新教）情势中渡过的。开普勒原是个新教徒 从学校毕业后 进入新教的神学院——杜宾根大学攻读 本想将来当个神学者 但后来却对数学和天文学发生浓厚兴趣和爱好。
杜宾根大学的天文学教授米海尔·麦斯特林 （1550～1631）是赞同哥白尼学说的。他在公开的教学中讲授托勒玫体系 暗地里却对最亲近的学生宣传哥白尼体系。开普勒是深受麦斯特林赏识的学生之一 他从这位老师那里接受哥白尼学说后 就成为新学说的热烈拥护者。他称哥白尼是个天才横溢的自由思想家 对日心体系予以很高评价。
开普勒能言善辩 喜欢在各种集会上发表见解。因而引起学院领导机构——教会的警惕 认为开普勒是个“危险”分子。学院毕业的学生都去当神甫 开普勒则未获许可。他只得移居奥地利 靠麦斯特林的一点帮助在格拉茨高等学校中担任数学和天文学讲师及编制当时盛行的占星历书。
占星术是一门伪科学 开普勒不信这一套。他不相信天上那些星辰的运行和地上人类生息的祸福命运会有什么相干！他曾为从事此项工作自我解嘲说：“作为女儿的占星术若不为天文学母亲挣面包 母亲便要挨饿了。”
从那时起 开普勒开始从事研究他毕生最感兴趣 也是他尔后获得最大成就的问题了。
宇宙模型
开普勒平生爱好数学。他也和古希腊学者们一样 十分重视数的作用 总想在自然界寻找数量的规律性 （早期希腊学者称为和谐）。规律愈简单 从数学上看就愈好 因而在他看来就愈接近自然。他之所以信奉哥白尼学说 正是由于日心体系在数学上显得更简单更和谐。他说：“我从灵魂深处证明它是真实的 我以难以相信的欢乐心情去欣赏它的美。”他接受哥白尼体系后就专心探求隐藏在行星中的数量关系。他深信上帝是依照完美的数学原则创造世界的。
开普勒在他早期所著的《神秘的宇宙》（1597）一书里设计一个有趣的、由许多有规则的几何形体构成的宇宙模型。开普勒试图解释为什么行星的数目恰好是六颗 并用数学描述所观测到的各个行星轨道大小之间的关系。他发现六个行星的轨道恰好同五种有规则的正多面体相联系。这些不同的几何形体 一个套一个 每个都按照某种神圣的和深奥的原则确定一个轨道的大小。若土星轨道在一个正六面体的外接球上 木星轨道便在这个正六面体的内切球上；确定木星轨道的球内接一个正四面体 火星轨道便在这个正四面体的内切球上；火星轨道所在的球再内接一个正十二面体 便可确定地球轨道……照此交替内接 （或内切）的步骤 确定地球轨道的球内接一个正二十面体 这个正二十面体的内切球决定金星轨道的大小；在金星轨道所在的球内接一个正八面体 水星轨道便落在这个正八面体的内切球上。
开普勒也因循自亚里斯多德、托勒玫直至哥白尼以来的固有见解 没有跳出圆形轨道的框框。
这种设计得到的各个球的半径比率与各个行星轨道大小的已知值相当吻合。有规则的正多面体是具有相同平面的对称体。这种具有对称平面的多面体只能作出五个 因此开普勒确信太阳系的行星只有六颗。
这一“发现”给开普勒带来极大喜悦 他写道：“我从这个发现所得到的极度喜悦是无法用语言来表达的。我不怕任何麻烦 我不辞辛劳、日以继夜地进行计算 直到我能够看到是否我的假设符合哥白尼的轨道 或者是否我的喜悦要落空”。
开普勒模型的数学关系纵然如此美妙 但若干年后开普勒分析第谷的观测数据、制定行星运行表时 它们却毫无用处。开普勒就摒弃了它。
1598年奥地利暴发宗教冲突。天主教徒用凶残的惩罚来恫吓开普勒。他被迫离开奥地利 逃到匈牙利隐蔽起来。不久 他接到在布拉格路德福国王宫庭内任职的第谷的邀请 去协助整理观测资料和编制新星表。开普勒欣然接受 1600年携眷来到布拉格 任第谷的助手。
具有讽刺意味的是 这两位学者 一个始终是哥白尼体系的反对者 另一个则是该体系的衷心拥护者。但他们毕竟撮合在一起了 并且戏剧般地成为天文学史上合作的光辉典范！
这是开普勒最快乐的时代 他不再为生活而发愁 专心从事天文学研究。然而很不幸 他们相处没有多久 第谷便于第二年（1601）去世。开普勒遭到一次很沉重的打击。这位被称为“星学之王”的天文观测家把他毕生积累的大量精确的观测资料全部留给了开普勒。他生前曾多次告诫开普勒：一定要尊重观测事实！
开普勒继任第谷的工作 任务是编制一张同第谷记录中的成千个数据相协调的行星运行表。虽然他得到“皇家数理家”的头衔 但宫庭却不发给他应得俸禄 他不得不再从事星相术来糊口。
第谷的观测记录到了开普勒手中 竟发挥意想不到的惊人作用 使开普勒的工作变得严肃起来。他发现自己的得意杰作——开普勒宇宙模型 在分析第谷的观测数据、制订行星运行表时毫无用处 不得不把它摒弃。不论是哥白尼体系、托勒玫体系还是第谷体系 没有一个能与第谷的精确观测相符合。这就使他决心查明理论与观测不一致的原因 全力揭开行星运动之谜。为此 开普勒决定把天体空间当做实际空间来研究 用观测手段探求行星的
“真实”轨道。
巧夺天工
开普勒要解决的问题包括两方面：第一 用什么方法测定行星（包括地球）运动的“真实”轨道 如同观测者能从“天外”看行星绕太阳运行一样；第二 分析行星运动遵循什么样的数学定律。
如今已很少有人想到 开普勒如何从行星的使人眼花缭乱的视行中推出它们的“真实”轨道？只要想到人们永远不可能看到行星的真实运动 而只能从运动着的地球上看到它们在天空的什么方向 就知道问题困难了。倘使行星所作的是简单的匀速圆周运动 从地球上看去 还比较容易地察觉这种运动该是怎样的；可是实际情形比这要复杂得多 而且地球本身同样是以某种未知方式绕太阳运动。这就使问题变得无比复杂和困难了。
开普勒用一个绝妙方法把这种杂乱无章的现象理出一个完整清楚的头绪来。他同哥白尼一样 敏锐地领悟到 “要研究天 最好先懂得地” 他也把着眼点放在地球上 力图先摸清地球本身的运动 然后再研究行星的运动。
但是这样做的时候 并没有排除行星存在的必要性。假如天空中只有太阳和恒星而没有别的行星存在 那要找出地球的“真实”轨道 还是办不到的。因为在那种情形下 除了太阳的周年视行外 其他就没有什么东西可以从经验上来确定。它虽然也能帮助我们确定地球绕太阳运行的方式 譬如地球向径 （日地连线）在一个相对恒星是静止的平面（黄道面）上运动 这种运动的角速度在一年中呈现有规律的变化……。但是 光知道这些并没有多大用处 关键是必须确定地球同太阳之间的距离在一年中是怎样变化的？只有当人们弄清这种变化后 才能确定地球轨道的真实形状及它的运行方式。
其实 开普勒所用的方法就是普通的三角测量法。
在大地测量工作中 常常要测定那些由于某种自然障碍而无法直接到达的目标的距离。假定需要测定A地到对岸塔C的距离 因A、C两地被大河阻隔 无法直接去测量这段距离的长度。为了解决这个困难 观测者可在河的这岸另择一点B AB的距离是可以直接丈量的。这段经过选定的、已知其长度的线段AB 用测量学的术语来说 叫做“基线”。基线确定后 可在它的两端用测角仪分别测定A、B两角的大小。于是 在三角形ABC中 已知两角大小和它们所夹的边 （基线）长 三角形的其他角和边 就可以计算出来。应用这个简单方法可以求得无法达到的目标的距离。
实际上 天文学家们也是用这个方法来测定天体距离的。只不过这个问题对天文学家说来更加困难些 因为天文学家们要布设一条“基线”不那么容易。开普勒所遇到的正是这个困难。
开普勒要测定地球（在其轨道上）与太阳的距离。在这里 太阳好比是上述例证中的A地 地球则是河对岸的那座塔C。为了布设“基线” 还需要另找一个定点 B。可是 在行星系统里 除了太阳是唯一“静止”的中心天体外 再也找不出第二个这样的“定点”。这要由开普勒另行觅取。
我们设想在地球轨道平面的某处有一盏明亮的天灯M 它有足够的明亮度 并且永远悬挂在那里 以使地球上的观测者在每年任何日期都能看到它；又假定这灯距太阳比地球还要远些。如果具备这些条件 它就成了我们所需要的第个定点。太阳与灯的连线就是我们所要布设的“基线”。借助这样一盏灯 就能用下述办法来测定地球的轨道。
譬如 每年都会有这样一个时刻 地球 （E）正好在太阳（S）和灯（M）的连线上。这时 从地球上来看灯 我们的视线EM就会同SM（太阳～灯）重合 我们可以把后者在天空中的位置 （它指向某一恒星）记录下来。
以后 在另一个时刻 地球运行到轨道上的另一位置E＇ 这时它同太阳和那盏灯的位置形成一个三角形SE＇M。
在这个三角形中 SM边是事先选定的“基线”；e角的大小可以从地球上同时观测太阳和灯M来确定；S角就是地球向径（SE＂）同基线 SM所夹的角 其大小也可以通过对恒星的观测来确定。有了这些已知条件 便可以得知三角形SE＇M中SE＂的距离 或者说地球E＇相对于基线SM的位置完全可确定。
因此 只要在纸上任意画一条基线SM 凭着我们观测到的e和S的角度 就可以作出三角形SE＇M来。我们可以在一年中经常这样做 每次都会在纸上得到地球E＇对于那条基线SM的不同位置 并且给它们逐个注上日期 然后把这些点连成曲线……。这样 我们就从经验上确定了地球的轨道。虽然其大小还是相对的 然而却是“真实”的。
可是从哪里去找这盏灯呢？要知道行星系统里除了中心天体——太阳外 所有能看得见的客体都不是静止的 它们的运动在细节上都是未知的。开普勒毫不费事地找到这盏灯。它就是火星 一盏天上的“红灯”。
人们不禁要问：火星不也是在运动吗？
一点不错 火星确是在运动。然而聪明的开普勒想出一条“动中取静”的妙计。那时人们对火星的视运动已经知道得非常清楚 它绕太阳运行的周期 （一个“火星年”）是精密地测定了的。既然它是在闭合的轨道上运行 就总会有这么一个时刻 即太阳、地球和火星处在同一直线上 而且每隔一个“火星年”之后 它总又要回到天空的同一位置上来。因此 火星虽然是动的 但在某些特定的时刻 SM总是表现为同一条基线；而地球呢？在这些时刻 它会到达自己的不同位置。这时 对太阳和火星同时进行观测 就成为开普勒测定地球轨道的手段；火星这时就起着所设想的那盏灯的作用。
“天公斗巧乃如此 令人一步千徘徊”。开普勒就是这样以令人赞叹的巧妙手法把地球轨道的形状测了出来。地球的轨道一经测定 地球及其向径
（SE）在任何时刻的实际位置和距离变化 也就成为已知条件。反过来 以地球向径作为基线 从观测数据中推求其他行星的轨道和运动 对开普勒来说不再是太困难的事了！
8分误差改变整个天文学
行星轨道从经验中算出来了 下一步要弄清楚的问题是行星运动究竟遵循什么数学定律？
乍看 第一个问题解决后 搞清楚第二个问题该是轻而易举的事。然而你马上就会看到 要从经验的数据里推出运动定律要比解决第一个问题艰巨得多。
开普勒首先需要了解行星轨道所描出的曲线的几何特征是什么？为此 他必须先作某种假设 然后把它用到一大堆数字上去试试 看它是否能同第谷的数据吻合。如果不是 再找另外的假设进行探索 直到合乎观测事实为止。
开普勒的目光首先盯住火星。这是因为第谷的数据中对火星的观测占有最大篇幅。恰好 就是这个行星的运行与哥白尼理论出入最大。开普勒按照传统的偏心圆来探求火星的轨道。他作了大量尝试 每次都要进行艰巨的计算。在大约进行了70次的试探之后 开普勒才算找到一个与事实相当符合的方案。使他感到惊愕的是 当超出他所用数据的范围继续试探时 他又发现与第谷的其他数据不符。火星还是不听他的摆布……。
开普勒诙谐地写道：“我预备征服战神马尔斯 把它俘虏到我的星表中来 我已为它准备了枷锁。但是我忽然感到胜利毫无把握…… 这个星空中狡黠的家伙 出乎意料地扯断我给它戴上的用方程连成的枷锁 从星表的囚笼中冲出来 逃往自由的宇宙空间去了。”
开普勒计算出来的火星位置和第谷数据之间相差8分 即1.133度 （这个角度相当于表上的秒针在0.02秒瞬间转过的角度）会不会是第谷弄错了呢？或是寒冷的冬夜把第谷的手指冻僵了 以致观测失误了呢？不会！开普勒完全信赖第谷观测的辛勤与精密 即使是这样微小的数值 第谷也是不会弄错的。他说：“上天给我们一位像第谷这样精通的观测者 应该感谢神灵的这个恩赐。一经认识这是我们使用的假说上的错误 便应竭尽全力去发现天体运动的真正规律 这8分是不允许忽略的 它使我走上改革整个天文学的道路。”可见 这两位天文学大师的工作在当时已达到何等惊人的精确性！
当开普勒意识到始终无法找出一个符合第谷观测数据的圆形轨道后 他就大胆摒弃这种古老的、曾寄希望的匀速圆周运动的偏见 尝试用别的几何曲线来表示所观测到的火星的运动。开普勒认为行星运动的焦点应在施引力的中心天体——太阳的中心。从这点出发 他断定火星运动的线速度是变化的 而这种变化应当与太阳的距离有关：当火星在轨道上接近太阳时 速度最快；远离太阳时 速度最慢。他并且认为火星在轨道上速度最快与最慢的两点 其向径围绕太阳在一天内所扫过的面积是相等的。然后 他又将这两点外面积的相等性椎广到轨道上所有的点上。这样便得出面积与时间成正比的定律。
随后 开普勒看出火星的轨道有点像卵形（幸运的是 他首先选中火星 而火星轨道的偏心率在行星中比起来是相当大的） 在连接极大与极小速度两点方向的直径似乎伸得长些。这样 终于使他认识到火星是在椭圆的轨道上运动。
椭圆是人们比较熟悉的几何图形。我们可以从木工师傅那里学到它的机械画法：在木板上先定出两个点 钉上钉子 取一段定长而无伸缩性的线 把它的两端固定在钉子上 用铅笔套在里面 然后把线拉紧 慢慢移动铅笔 这样画出来的曲线便是一个椭圆。
这个画法告诉我们 椭圆上的任何一点到两个定点的距离之和保持不变。它的数学定义便是：若平面上动点到两定点的距离之和是常量 动点的轨迹叫做椭圆。两个定点叫做椭圆的焦点 焦点之间的距离叫做焦距。
椭圆的变化情形可用偏心率e来表示。椭圆的偏心率是它的焦距与它的长径的比率 e通常是用下式来表示的。
c
e = （c是半焦距 a是半长径）
a
∵ c＜a ∴ e＜1
可以看出 焦距越大 e的值越接近于1 椭圆形状越扁；反之 焦距越小 e的值越接近于零 椭圆形状越变浑圆；当焦距为零 偏心率e=0时 椭圆也就转化为圆。从这个意义上说 可以把圆看作是椭圆的一种特殊情形 即两个焦点重合的椭圆。
太阳系各个行星轨道的具体形状稍有不同。一般说来 它们的偏心率都很小 同圆形只有微小的差异。所以行星轨道可以近似地看作圆形 太阳的位置也可以近似地看作位于轨道的中心。这便是当年使开普勒绞尽脑汁的原因。
这一回又是几何学帮了天文学的大忙。假使没有古希腊人对圆锥曲线（平面截割圆锥所形成的曲线）的研究 这些美妙的定律也许不可能被发现。由于椭圆是圆锥曲线的一种 它那种圆而带扁的形状使开普勒想到火星可能在这样一种曲线的轨道上运动。跟着 利用古代几何学家对圆锥曲线寻找出来的许多性质 他肯定自己所作的假设是正确的 并将这两项发现推广到所有行星。
1609年 开普勒发表了《新天文学》一书和《论火星运动》一文 公布了两个定律：
（一）所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上运动。太阳的位置不在轨道中心 而在轨道的两个焦点之一。
这是行星运动第一定律 （也叫轨道定律）。
（二）在同样的时间里 行星向径在其轨道平面上所扫过的面积相等。
这是行星运动的第二定律 （也叫面积定律）。
开普勒虽然摒弃行星等速度运动的偏见 但仍维护这一原则 只是把线速度相等换了个“面速度”相等。这使开普勒感到分外高兴。有了这个定律 可以计算任何时刻行星在轨道上的位置。
这两个重要的定律相继发现后 编制星表一事便轻而易举了。不仅“行踪诡秘”的火星永远逃不出星表的“囚笼” 驯服地沿开普勒给定的椭圆轨道运行 其余各个行星也都相继“被俘”。
奇妙的“2”和“3”
开普勒并不满足已取得的成就 他感到自己远远没有揭开行星运动的全部奥秘。他相信还存在着一个把全部行星系统连成一个整体的完整定律。
古人给了他启示 行星运行的快慢同它们的轨道位置有关 较远的行星有较长的运行周期。第二定律也表明 即使在同一轨道上 行星速度也因距太阳远近而变化。沿着这条思路 开普勒确信行星运动周期与它们轨道大小之间应该是“和谐”的。他要找出其间的数量关系来。
开普勒是怎样寻找这个关系的呢？他面对的只是一些观测数据 现在要在它们背后找出隐藏着的自然规律来 这就要求这位天文学家具有高度惊人的毅力和耐心。
开普勒和哥白尼一样 并不知道行星与太阳之间的实际距离 只知道它们距太阳的相对远近。他把地球作为比较标准：以日地平均距离（天文单位）为距离单位；以地球绕太阳运动周期 （一年）为时间单位。把各个行星的公转周期 （T）及它们与太阳的平均距离（R）排列成一个表 以探讨它们之间存在什么数量关系。
行星名称 公转周期 （T） 太阳距离 （R）
水星 0.241 0.387
金星 0.615 0.723
地球 1.000 1.000
火星 1.881 1.524
木星 11. 8625.203
土星 29.457 9.539
从这个表中可知 对水星而言 公转周期是0.241年 距离是0.387天文单位；而对金星来说 则分别为0.615年和0.723天文单位……余类推。这么一堆乱七八糟的数字能反映出什么规律性呢？像做数字游戏一样 开普勒对表中各项数字翻来复去作各式各样的运算：把它们互相乘、除、加、减；又把它们自乘；时而又求它们的方根……。这样 在很少有人了解和支持的困难情况下 他顽强地苦战达9年之久。经过无数次的失败 他终于找到一个奇妙的规律。他在原来的那个表里增添两列数字：
2 3
行星名称 公转周期 （T） 太阳距离 （R）周期平方 （T）距离立方 （R）
水星 0.241 0.3870.058 0.058
金星 0.615 0.7230.378 0.378
地星 1.000 1.0001.000 1.000
火星 1.881 1.5243.54 3.54
木星 11.862 5.203140.7 140.85
土星 29.457 9.539867.7 867.98
从这个表的后面两列数字里 我们可以看出这个奇妙的规律：行星公转周期的平方与它同太阳距离的立方成正比。
即：
2 3
T=R
这就是行星运动的第三定律 （也叫周期定律）。
由此可知 行星同太阳的距离 可以根据该行星公转的恒星周期来计算 即：
2 2
R＝ T
这个谜一经猜破 似乎十分简单。但在谜底揭开之前 它着实叫开普勒耗尽心血。这对奇妙的“2”和“3”得来并非容易！
开普勒在获得这一成就时喜不自禁的写道：“……（这正是）我十六年以前就强烈希望要探求的东西。我就是为这个而同第谷合作……现在我终于揭示出它的真相。认识到这一真理 这是超出我的最美好的期望。大事告成 书已写出来了 可能当代就有人读它 也可能后世才有人读 甚至可能要等待一个世纪才有读者 就像上帝等了六千年才有信奉者一样。这我就管不着了”。他写得多么得意呀！
如果开普勒当时能知道对数运算的话 问题就要简单得多。若取表中各个行星的周期 （T）和距离（R）的对数（见下表右边两栏列出的数字）进行比较：
行星名称 周期 （T） 距离 （R） lgTlgR
水星 0.241 0.387 0.620.41
金星 0.615 0.723 0.210.14
地星 1.000 1.000 0 0
火星 1.881 1.524 0.270.18
木星 11.862 5.203 1.070.72
土星 29.457 9.539 1.470.98
那就用不着开普勒那样高超的智慧 任何人都会立即看出：
lgT∶lgR=3∶2
这是一个十分重要的自然定律。不仅行星遵循着它 连同行星的卫星以及太阳周围的其他天体概无例外。从而可以确定 太阳和它周围的所有天体不是偶然的、没有秩序的“乌合之众” 而是一个有严密组织的天体系统——太阳系。
给天空立法
为纪念开普勒在天文学上的卓著功绩 上述行星运动三大定律 被称“开普勒定律”。它一经确立 本轮系彻底垮台 行星的复杂运动 立刻就失去全部神秘性。它成了天空世界的“法律”。后世学者尊称开普勒为“天空立法者”。
不知是什么原因 开普勒的这些重大发现却没有引起与他同时代的伽利略的足够重视。两人毕生都为哥白尼学说而奋斗 他们又是朋友 时有书信往来 然而对于开普勒的这一决定性的进展 伽利略一生和著作中竟没有留下任何痕迹。这也是科学史上的一桩怪事！
开普勒定律在天文学上有十分重大的意义：
首先 开普勒定律在科学思想上表现出无比勇敢的创造精神。远在哥白尼创立日心宇宙体系之前 许多学者对于天动地静的观念就提出过不同见解。但对天体遵循完美的均匀圆周运动这一观念 从未有人敢怀疑。开普勒却毅然否定了它。这是个非常大胆的创见。哥白尼知道几个圆合并起来就可以产生椭圆 但他从来没有用椭圆来描述过天体的轨道。正如开普勒所说
“哥白尼没有觉察到他伸手可得的财富”。
其次 开普勒定律彻底摧毁了托勒玫的本轮系 把哥白尼体系从本轮的桎梏下解放出来 为它带来充分的完整和严谨。哥白尼抛弃古希腊人的一个先入之见 即天与地的本质差别 获得一个简单得多的体系。但它仍须用三十几个圆周来解释天体的表观运动。开普勒却找到最简单的世界体系 只用七个椭圆说就全部解决了。从此 不须再借助任何本轮和偏心圆就能简单而精确地推算行星的运动。
第三 开普勒定律使人们对行星运动的认识得到明晰概念。它证明行星世界是一个匀称的（即开普勒所说的“和谐”）系统。这个系统的中心天体是太阳 受来自太阳的某种统一力量所支配。太阳位于每个行星轨道的焦点之一。行星公转周期决定于各个行星与太阳的距离 与质量无关。而在哥白尼体系中 太阳虽然居于宇宙“中心” 却并不扮演这个角色 因为没有一个行星的轨道中心是同太阳相重合的。
由于利用前人进行的科学实验和记录下来的数据而作出科学发现 在科学史上是不少的。但像行星运动定律的发现那样 从第谷的20余年辛勤观测到开普勒长期的精心推算 道路如此艰难 成果如此辉煌的科学合作 则是罕见的。这一切都是在没有望远镜的条件下得到的！
除了发现行星运动定律外 开普勒在天文学上还作出有益的贡献。他没有辜负第谷的嘱托 于1627年刊布他终身的最后杰作——《路德福星表》。这是天文史上值得称赞的一部星表 它的完备和准确度远胜过前人。在以后的百余年间 该表一直被天文学家和航海家们奉为至宝。它的形式几乎没有改变地保留到现在。我们现在可从《天文年历》或同类书刊中查知天体过去或未来的运动和准确位置。开普勒正是这方面工作的先驱。
开普勒自幼就损坏视力 没能成为一位天文观测家。他是“借别人的眼睛”作出自己的科学发现。可是他在光学理论和光学仪器研究方面却作过重大贡献。伽利略虽在望远镜的操作上有所改进 但他的望远镜原则上同荷兰眼镜匠制造的没有什么两样 由一块凸镜片（物镜）和一块凹镜片（目镜）合成。开普勒 （比伽利略稍晚些）则设计出一种新型望远镜。他把伽利略式望远镜的凹镜片目镜改用一个小凸透镜 把长焦距的透镜和短焦距的透镜配合在一起 这好比给放大镜“戴上一付眼镜” 其倍率按物镜和目镜的焦距之比来决定。所成的像则是倒立的 这对天文学家来说 没有什么不方便。开普勒式望远镜的特点是把目标放在两透镜的公共焦点上 能够测定微小角度。它后来被广泛应用于天文望远镜。
如同伽利略奠定实验力学的基础一样 开普勒则奠定了近代实验光学的基础。他看到光从已知光源以球面辐射出来 直觉地提出了光度随距离减弱的平方反比定律。
这样一位为科学发展开拓道路的勇士 一生却是在极端艰难的条件下度过的。连年的战争 长期漂泊 生活贫困以及来自教会的迫害 不断困扰着他。在他花甲之年 为向宫庭廷取20余年的欠薪 他长途跋涉去拉提明 于1630年11月15日染伤寒死在途中 只留下几件衣服和一些书籍。
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